$3.31\dot{2}\dot{4}$ কে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর কর-

যেকোনো আবৃত দশমিক সংখ্যাকে (recurring decimal) সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করার জন্য আমরা কিছু নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করি। এখানে দেওয়া সংখ্যাটি হলো \(3.31\overline{24}\), যেখানে '31' হলো অনাবৃত অংশ এবং '24' হলো আবৃত অংশ।

বিস্তারিত সমাধান:

আবৃত দশমিক সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরের প্রচলিত বীজগাণিতিক (algebraic) পদ্ধতিটি নিচে ধাপে ধাপে দেখানো হলো:

    
1. প্রথমে আমরা সংখ্যাটির দশমিক অংশকে একটি চলক \(x\) ধরে নিই। পূর্ণ সংখ্যা অংশকে আলাদা রাখি।
       ধরি, \(x = 0.31\overline{24}\)
    
2. যেহেতু দশমিক বিন্দুর পর অনাবৃত অংশ (non-repeating part) দুটি অঙ্ক (3 এবং 1) নিয়ে গঠিত, তাই আমরা \(x\) কে 100 দ্বারা গুণ করি যাতে অনাবৃত অংশটি দশমিক বিন্দুর বামপাশে চলে আসে:
       \(100x = 31.\overline{24}\) … (i)
    
3. যেহেতু আবৃত অংশটি (2 এবং 4) দুটি অঙ্ক নিয়ে গঠিত, তাই দশমিক বিন্দুর পর অনাবৃত এবং আবৃত অংশ একসাথে চারটি অঙ্ক (3, 1, 2, 4) নিয়ে গঠিত। আমরা \(x\) কে 10000 দ্বারা গুণ করি যাতে একটি সম্পূর্ণ আবৃত অংশসহ অনাবৃত অংশ দশমিক বিন্দুর বামপাশে চলে আসে:
       \(10000x = 3124.\overline{24}\) … (ii)
    
4. এখন, (ii) সমীকরণ থেকে (i) সমীকরণ বিয়োগ করি। এতে আবৃত অংশটি অপসারিত হবে:
       \(10000x - 100x = 3124.\overline{24} - 31.\overline{24}\)
       \(9900x = 3093\)
    
5. \(x\) এর মান বের করি:
       \(x = \frac{3093}{9900}\)
    
6. ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে (simplest form) প্রকাশ করি। এর জন্য লব (numerator) এবং হরকে (denominator) তাদের গসাগু (GCD) দ্বারা ভাগ করতে হবে। এখানে উভয় সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য:
       \(3093 \div 3 = 1031\)
       \(9900 \div 3 = 3300\)
       সুতরাং, \(x = \frac{1031}{3300}\)
    
7. মূল সংখ্যাটি ছিল \(3.31\overline{24}\)। এর পূর্ণ সংখ্যা অংশ 3 এবং দশমিক অংশ \(0.31\overline{24}\)।
       অতএব, \(3.31\overline{24} = 3 + 0.31\overline{24} = 3 + \frac{1031}{3300}\)
    
8. এটি একটি মিশ্র ভগ্নাংশ (mixed fraction) আকারে প্রকাশ করলে হয়: \(3\frac{1031}{3300}\)

আবৃত দশমিক সংখ্যাকে সরাসরি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করার একটি দ্রুত পদ্ধতি রয়েছে। যদি একটি আবৃত দশমিক সংখ্যাকে \(P.QR\overline{ST}\) আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে \(P\) পূর্ণ সংখ্যা অংশ, \(QR\) অনাবৃত দশমিক অংশ এবং \(ST\) আবৃত দশমিক অংশ, তবে এটিকে নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়:

\(\text{পূর্ণ সংখ্যা} + \frac{\text{দশমিকের পর অনাবৃত ও আবৃত অংশের অঙ্কগুলোর দ্বারা গঠিত সংখ্যা} - \text{দশমিকের পর অনাবৃত অংশের অঙ্কগুলোর দ্বারা গঠিত সংখ্যা}}{\text{আবৃত অংশে যতটি অঙ্ক আছে ততগুলো 9 এবং অনাবৃত অংশে যতটি অঙ্ক আছে ততগুলো 0}}\)

দেওয়া আছে, সংখ্যাটি হলো \(3.31\overline{24}\)।

    
1. পূর্ণ সংখ্যা অংশ = 3
    
2. দশমিকের পর অনাবৃত ও আবৃত অংশের অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত সংখ্যা = 3124
    
3. দশমিকের পর অনাবৃত অংশের অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত সংখ্যা = 31
    
4. আবৃত অংশে (24) দুটি অঙ্ক আছে, তাই হর-এর জন্য দুটি '9' (অর্থাৎ 99) বসবে।
    
5. দশমিকের পর অনাবৃত অংশে (31) দুটি অঙ্ক আছে, তাই হর-এর জন্য দুটি '0' (অর্থাৎ 00) বসবে।
    
6. সুতরাং, \(3.31\overline{24} = 3 + \frac{3124 - 31}{9900}\)
       \( = 3 + \frac{3093}{9900}\)
    
7. ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি (উভয়কে 3 দ্বারা ভাগ করে):
       \( = 3 + \frac{3093 \div 3}{9900 \div 3}\)
       \( = 3 + \frac{1031}{3300}\)
       \( = 3\frac{1031}{3300}\)